Теория изгибных колебаний пластины

[atsvetnov]

Существует понятие граничной частоты для пластины и звука.

Там фигурирует частота изгибных колебаний пластины. И вот удивительно. Она пропорциональна корню из плотности и, обратно пропорциональна корню
из упругости и толщине в квадрате. Это странная формула для пластины озадачила меня. Потому что в ней всё наоборот.

Известно что чем больше масса и меньше жёсткость, то в классической задаче маятника частота соб. кол. меньше. Это справедливо везде где я знаю. Колебания сопли или тяжёлой мембраны
в барабане. Специально смотрел решение стандартной задачи об обычных изгибных колебаниях пластины и там частота подчиняется классическому правилу. Там много математики, но суть та же.

Тут же в нашем непонятном случае, с граничной частотой, формула для резонансной частоты "провала" имеет вид
ФГР = (1/(толщина)) * кореньиз(плотность/упругость)
или в более интересной форме
ФГР = (1/(толщина)) * ((скоростьзвукаввоздухе**2)/скоростьзвукавпластине)).

Если слегка преобразовать это, то получим любопытную штуку:
скоростьзвукаввоздухе*длинаволныввоздухе = скоростьзвукавпластине*толщинапластины

Очень похоже на равенство "действий" из теор физики. Из этого я сделал вывод, что вероятно формула ФГР имеет право жить и это не шарлатанство.

Долго искал "физику" процесса в тырнете, но увы.
Это имеет отношение к моему будущему проектироему полу (для себя), позжее спрошу совета если возможно.

Подскажете в чём суть, что рыть и где ?

[Андрей Смирнов]

Долго искал "физику" процесса в тырнете, но увы.
Это имеет отношение к моему будущему проектироему полу (для себя), позжее спрошу совета если возможно. Подскажете в чём суть, что рыть и где ?

Смысл вопроса не совсем понятен. А тем более его связь с конструкцией пола

Критическая частота описывается двумя основными формулами и рассчитывается:
1. из толщины и скорости продольных волн в пластине
2. из поверхностной массы и цилиндрической жесткости пластины

Первая формула наиболее удобна для инженерных расчетов и оценок.
Из формул совершенно ясно, что и как следует менять в конструкции для достижения требуемого эффекта

Волновое совпадение.JPG (39.57 KiB) Viewed 6724 times

[atsvetnov]

Добрый вечер Андрей.

Что из формулы следует ясно.
Но не ясно каким образом получается формула. Не ясен смысл физического процесса.
Для обычных колебаний массы с пружиной всё ясно, за 2 секунды пишется простейшее диф. уравнение, и там упругость в числителе, а масса в знаменателе для частоты колебаний.
Здесь же масса в числителе а упругость в знаменателе. Почему ? Как получить "на пальцах" или хотя бы понять это.

По поводу пола, отдельная тема, но хочу использовать песок в качестве демпфира между слоями.
Вообще, я не страдаю от соседей, мне просто интересно. Скоро (надеюсь) получу ключи от квартиры в п44к эконом класса. Хочу там поэкспериментировать.
Но не могу не понимая физике чего то мутить. У меня приятель занимаеться физ. кинетикой, теорией торнадо. Поэтому я понимаю безумную сложность решений всех этих страшных уравнений даже для линейного случая. Но на пальцах всегда некий эффект можно понять.

Вот и вопрос здесь, как понять формулы на вашей картинке или найти мат. обоснование. Ведь кто-то это посчитал.

Александер

[Андрей Смирнов]

Теория сабжа очень хорошо описана в книгах:

1. Ю.П. Щевьев "Физические основы архитектурно-строительной акустики", 2001 г. (стр. 303-308)
2. И.И. Боголепов "Архитектурная акустика", 2001 г. (стр. 52-61).

Удачи!

[atsvetnov]

Спасибо, после работы завтра позырю = ))

[atsvetnov]

Андрей, добрый вечер.

Две рекомендованные вами книги я так и не смог найти в интернете, но скачал другую: "Лепендин Л.Ф. - Акустика"
Хотя, в общем то, оказалось это уже не важно.

До меня с утра внезапно дошло (яб сказал допёрло =), что я неявно рассматриваю пластину как мембрану. В последнем случае поведение волн определяется продольными волнами и следует классическому волновому уравнению, из которого следует,в частности, независимость фазовой скорости от частоты.
Однако в нашем случае мы имеем ПОПЕРЕЧНЫЕ волны, что совершенно меняет физику процесса. В википедии по ссылке http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 0%BD%D1%8B можно посмотреть на эту формулу. Она совершенно другая (хотя внешне, если не присматриваться похожа =)). И со всеми вытекающими последствиями, а именно, фазовая скорость такой волны зависит от частоты и в нашем случае много меньше скорости продольной волны.
Таким образом, всё становится на свои места. На некоторой частоте скорости звука в воздухе и поперечной волны совпадают. Пластина становится, очевидно, прозрачной.

Пишу я скорее это для таких же как я, чтобы не водили себя за нос, а чётко вникали в условия задачи. Вам то, конечно, всё это очевидно =)))